Analizando el significado de diferencial podemos interpretarla mediante una grafica o mejor dicho gráficamente (figura 1):

 

Sea y = f (x) la función dada y su diferencial f´ (x), que se identifica como valor de la derivada en P; si el incremento de la variable independiente Δx = dx = PB, y en base a la definición de la diferencial, resulta:

 

Y   = f (x)

dy = f´(x) dx

 

Recordando que el valor de la derivada en cualquier punto de una curva es igual a la pendiente de la tangente a la curva en dicho punto, tenemos:

 

dy = f´(x) dx

dy = tg θ (PB)

 

 

En base a la grafica, tenemos que:

 

            BC.             CATETO OPUESTO

tg θ =  PB              CATETO ADYACENTE

 

Sustituyendo, se obtiene:

 

dy = tg θ (PB)

     

        BC

dy = PB (PB) = BC }representa el incremento de la ordenada de la “tg” corresp. a dx.

 

 

Si dx representa un incremento cualquiera de la variable independiente x para un punto P(x,y) de la curva y = f (x), tiene por derivada:

 

dx = f´(x) = tg θ

 

Generalmente la diferencial de la función (dy) y el incremento (Δx) no son iguales por ejemplo: de la grafica tenemos que:

 

dy = BC   } incremento de la ordenada de la tg en P.

Δy = BP´ } incremento de la ordenada de la función de P a P´

 

 

 

 

 

 

Si el incremento de la variable independiente dx es muy pequeño, entonces dy y Δy so aproximaciones iguales, es decir, según la grafica anterior (figura 1), se tiene:

 

Si dx = PB es muy pequeño, dy   = BC = Δy = BP´  

 

Cuando solo es necesario obtener un valor aproximado del incremento de la función, al calcular el valor de la diferencial será suficiente para resolver un problema.

 

Ejemplos de mostrativos:

 

 

 

Solución:

 

Sean: y  =  √ x la función representativa de √ 84

 

          x  =  81 por ser un valor próximo al dado y que tiene raíz cuadrada exacta.

 

        dx  =  Δx  =  3 incremento de “x” para tener 84.

 

 

y  =  √ x                                                     si  y  = √ x = √ 81 = 9

 

            dx .

dy  =   2 √x                                                    √ 85 = y + dy

 

 

             3               2 .

dy  =   2 √ 81 =    9     = 0.166                   √ 85 = 9 + 0.166 = 9.166

 

Solución:

 

Sean: v  =  πr²h elvolumen del cilindro

 

         e = dr      el espesor de la cáscara

 

 

 v = π r² h

 

dv = 2πr h dr }formula aproximada

 

dv = 2πr h e

 

 

 

 

Solución:

 

Sean:    y = Sen x    la función representativa de sen 32º

            

             x = 30º        por ser un valor próximo al dado ya que Sen 30º = 0.5

 

           dx = 2º          incremento de “x” para tener 32º

 

            2º = 0.034906 radianes

 

 y = Sen x

 

dy = Cos x dx

 

dy = Cos 30º (0.034906)

 

dy = (0.8660) (0.034906) = 0.030228

 

Si y = Sen 30º = 0.5, tenemos:

 

Sen 32º = y + dy

 

Sen  32º = 0.5 + 0.030228 = 0.530228 radianes

 

 

 

 

Comparaciones de ΔY y dy

 

Ejemplo:

 

Sea y= x², determinar dy cuando x=1 y dx =0.01.comparar este valor con Δy para x=1 y Δx=0.01

 

SOLUCION Como y= x², se tiene ƒ´(x)=2x, y la diferencial dy esta dada por

 

 dy= ƒ´(x) dx=ƒ´(1)(0.01)=2(0.01)=0.02 diferencial de dy

 

ahora utilizando Δx=0.01, el cambio en y es

 

ƒ(x+ Δx)- ƒ(x) = ƒ(1.01) - ƒ(1) = (1.01)²- 1² =0.0201

 

 

en la siguiente (figura 2 )se muestra la comparación geométrica de dy y Δy .

al intentar comparar dy y Δy se vera que los valores se aproximan cada vez mas entre si cuando dx ( 0 Δx)tiende a cero.,

 

ejemplo

La recta tangente a la grafica de ƒ(x) = x² a x = 1 es

 

Y=2x -1 “o” g(x) = 2x -1    Recta tangente de ƒ en x = 1

 

Para valores de x cercanos a 1, esta es cercana a la grafica de ƒ como se muestra en la figura. Por ejemplo

 

ƒ(1.01)=1.01²=1.0201 y g(1.01) = 2(1.01)-1=1.02

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

FIGURA 2       El cambio en y, Δy, se aproxima por la diferencial de y, dy