DESCRIPCIÓN INTUITIVA.

 

Muy vagamente la diferencial de algo se puede visualizar como una pequeña parte representativa de ese algo. Por ejemplo podríamos decir que en una escuela, cualquier niño podría representar la diferencial de ella.

 

A un cuando conceptualmente esta primera ilustración no es correcta, el termino diferencial se usa exclusivamente para cantidades continuas. Es en ellas en donde tiene esta idea su mayor poder, pero a la vez, donde reside la problemática de su definición.

Ejemplo sencillos de diferenciales continuos serian: un pequeño intervalo de tiempo o una pequeña porción de agua que fluye de un rió.

 

¿para que podríamos necesitar un concepto tan atomizado como este?

 

Simplemente porque el todo es la unión de sus partes, de manera que una global que variara en el todo, podríamos calcularse obteniendo cada una de las contribuciones de los pedazos que lo forman por ejemplo:

En el caso de los niños y loa escuela, el promedio global de calificaciones de toda la escuela se tendría que obtener sumado las calificaciones de cada uno de los alumnos y dividiendo posteriormente entre el total de los alumnos.

 

En casos continuos, la resistencia del aire sobre un avión se podría considerar como la suma total de las presiones que ejercen las partículas de aire sobre cada una de las pequeñas porciones de la superficie del avión; también, el cansancio después de una carrera se podría pensar como la suma total de los esfuerzos realizados durante cada uno de los instantes de la carrera.

 

De manera mas abstracta, podemos ver la diferencial de una variable continua(como el tiempo, la velocidad, la masa, etc.) ya sea como un “pequeño” cambio en sus valores en un punto arbitrario o como una “pequeña” parte representativa del espacio donde la variable esta definida.

 Aquí la palabra “pequeño(a)” esta entre comillas ya que en esta primera etapa no es necesario incluirla, sin embargo, es una idea que es útil tener .

 

Las diferenciales de variables no son por si mismas interesantes. Su verdadera importancia surge cuando estas variables están relacionadas por una función, para que podamos hablar de la forma diferencial de esta función o simple mente de su diferencial.

¿Qué son estas formas diferenciales?

 

 

La diferencial como sucede con todos los conceptos matemáticos, es más fácil de comprender dentro del contexto reales que le den un significado concreto. Es por esto que trataremos de construir este concepto dentro de sus mismas aplicaciones.

 

 

 

Una manera muy usual de proceder cuando se desea entender mejor un fenómeno real o predecir su comportamiento, es la de representarlo por medio de ecuaciones matemáticas(a esto se le llama modelación matemática).

 

 

Enmarcamos así los fenómenos a estudiar dentro de un sistema abstracto que por lo general es mas fácil de manipular y obtener conclusiones.

Debemos estar consientes de que esta imagen matemática resulta siempre distorsionada, a veces en gran medida, debido al complejidad de la situación real.

Sin embargo, su validez esta basada en que la imagen es nítida al menos en las porciones del fenómeno real que tenemos interés en describir con el modelo.

 

Simplificando este proceso de modelación, podemos decir que en cierta manera estamos buscando formulas que relacionan las variables de nuestro sistema. Por ejemplo:

En caída libre tenemos que d= ½gt² , o así estamos interesados en describir el crecimiento de una población, nuestro objetivo seria encontrar una función P(t) que nos diera la cantidad de habitantes P para cualquier tiempo t.

 

Sin embargo, estas formulas por lo general son muy difíciles de obtener directamente. Una manera adecuada de hacer esta tarea por pasos, es el relacionar primero los cambios de las variables involucradas en un punto arbitrario. En el ejemplo anterior, esto significaría suponer que conocemos la población P en un tiempo t, y usando esta información, tratar de escribir ahora matemáticamente el cambio de la población debido a un cambio dado en el tiempo.

 

Nuevamente, esto nos resultaría más sencillo, a menos que hagamos ciertas suposiciones que nos permitan relacionar mas fácilmente estos cambios. Estas simplificaciones consisten, por un lado, encontrar nuestro análisis solamente cerca del punto de referencia, es decir, tomando cambios pequeños y por el otro, el aceptar ciertos grados de aproximación.

 

Para ejemplo de la población, podríamos suponer que el cambio de la población en un intervalo pequeño de tiempo es proporcional a la cantidad de pobladores existentes en ese tiempo y a la magnitud del tiempo transcurrido. Esto define el comportamiento local del sistema, del cual se puede obtener posteriormente el comportamiento global, sumando los cambios locales.

 

La diferencial de una función o de manera equivalente su forma diferencial, contiene ya en su estructura las simplificaciones mencionadas en el párrafo anterior ya que es una relación local “aproximada” entre los cambios que sufren las variables.

 

 

 

 Antes que nada debemos mencionar o aclarar que la descripción anterior de una forma diferencial no es todavía muy precisa ya que la palabra “aproximada”, que aparece en ella es ambigua(confusa).

Posteriormente daremos su significado matemático exacto.

 

Por lo pronto queremos dar una explicación intuitiva del tipo de aproximación que se realiza al obtener la diferencial de una función.

 

Cuando los cambios de las variables son pequeños, podemos considerar a los valores mismos de las variables casi como constantes, y esto hace razonable el poder hablar del “valor” de las variables durante esos cambios.

 

Así, en el ejemplo de la poblaron, al decir que el cambio de la población es proporcional a ala “cantidad de pobladores existentes en ese tiempo”, estamos suponiendo que esta cantidad durante el pequeño cambio del tiempo, no varia de manera significativa y por lo tanto, podemos considerar este valor como constante.

 

Desde un punto de vista mas matemático, esta aproximación puede interpretarse de la siguiente manera. Si pensamos en la grafica de una función e imaginamos que la amplificamos alrededor de un punto cualquiera, esperamos que esta amplificación se vea muy parecida a una recta (figura 1a).

 

En otras palabras, podemos aproximar localmente, en cualquier punto, la grafica de una función por medio de una pequeña recta. Si ahora tratamos de relacionar los cambios de las variables, este tipo de aproximación (lineal), implicara una proporcionalidad entre Δy= mΔx, donde m, la pendiente, puede considerarse aproximadamente constante para cambios pequeños(figura1b) .

 

                              

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                       Figura 1a                                                                         Figura 2b

 

(1 a) una amplificación de una curva alrededor de cualquier punto se vera muy parecida a una recta, es decir una curva puede aproximarse localmente por una recta.

(2b) si aproximamos una curva por una recta local los cambios que de X y de Y , denotados Δx y por Δy, serán proporcionales, es decir, al aumentarΔx al doble, Δy también aumentara al doble, si una se reduce la otra sufrirá el mismo cambio, etc.

 

La diferencial de una cantidad C se denota anteponiendo a esta la letra minúscula d. asi por ejemplo dC denota diferencial de C, dx la diferencial de x etc.

 

DEFINICION.- la diferencial de una función es igual al producto de su derivada por el incremento o diferencial de la derivada independiente.

 

 

Hallar la diferencial para la funcion y= 3x²

 

Solucion:

            

                      Si y= 3x²

 

                            dy = 6x dx

 

La notación de la derivada para la función y = f (x), es:

 

         dy .

Y´ = dx   = f´ (x)

 

                                   dy                                                      Δy.

En donde el símbolo dx representa el límite del cociente Δx

 

 

Si la derivada de f (x) es f´ (x) para un valor especifico de la variable independiente “x” y su incremento “Δx”; la diferencial de la función dada, se denota por el símbolo “df (x)”, y se define por la expresión:

 

                                dy

df (x) = f´ (x) Δx =  dx   Δx

 

 

Cuando f (x) = x, su derivada es f´ (x) = 1, sustituyendo en la expresión anterior, resulta:

 

d (x) = 1 (Δx)

 

dx = Δx } diferencial de la variable independiente

 

 

Si y = x, resulta en la expresión:

 

dy = f´ (x) Δx = dx  Δx