Ejemplos demostrativos aplicando el uso de diferenciales.

 

 

(a)    usar diferenciales para llegar a una formula que del valor aproximado del volumen de una envolvente cilíndrica delgada de altura h, radio interior r y espesor T.

 

(b)   ¿Cuál es el error que se comete al usar esta formula?

 

 

 

 

 

 

 

Solución:

 

(a)    en la figura 1 se ilustra la cubierta cilíndrica de espesor T denotado por Δr. Hay que calcular el volumen comprendido entre el cilindro interior de radio r y el cilindro exterior de radio r + Δr. El volumen V del cilindro interior es:

 

V   =   πr²h.

 

 

Si r incrementa en Δr, entonces el volumen del envolvente es el cambio ΔV de V. considerando como fusión de r y aplicando la formula:

 

ΔV   ≈   dV   =   (D_rV) dr   =   (2πrh)dr 

 

Con dr = Δr, ya que r es la variable independiente. Entonces

 

ΔV   ≈   (2πrh) dr   =   (2πrh)T

 

Es una formula aproximada para el volumen del cascaron cilíndrico. En palabras,

 

Volumen   ≈   (área de la cara cilíndrica interior) X (espesor).

 

(b)    el volumen exacto de la envolvente es

 

ΔV   =   π(r + Δr)² h – πr²h

 

Que da, simplificado,

 

ΔV   =    (2πrh) Δr + πh (Δr)².

 

El error que se comete al usar dV para estimar ΔV es

 

ΔV– dV   =   πh (Δr)².

 

Esto muestra que la aproximación dV es muy precisa cuando Δr es pequeño en comparación con h.

 

El siguiente ejercicio ilustra el uso de la diferencial para evaluar los errores de cálculo provenientes de medición. Como se indica en la solución, es importante considerar primero las formulas generales y no sustituir las variables por sus valores específicos sino hasta los últimos pasos de la solución.

 

 

Ejemplo 2: el radio de un globo esférico mide 30 cm y el error máximo en la medición es de 0.15 cm. Estimar el máximo error que se comete al calcular el volumen de la esfera.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solución: consideramos primero la formula general que relaciona el radio con el volumen. Definimos

 

X   =   valor medido del radio

 

dx   =   Δx    =   error máximo en x.

 

Suponiendo que Δx es positivo, tenemos que

 

x – Δx   ≤   radio exacta   ≤   x + Δx.

 

 

Si Δx es negativo, podemos usar ‌‌‌‌‌‌‌‌ |Δx| en vez de Δx. En la figura 2 se muestra una parte de la sección transversal del globo que indica el posible error Δx. Si se calcula el volumen V de la envolvente cilíndrica usando el valor medido x, entonces V = 4/3 πx³.

 

Sea ΔV el cambio en V correspondiente a Δx. Podemos interpretar ΔV como el error en el volumen calculado debido al error Δx. Podemos estimar ΔV en términos de dV como sigue:

 

ΔV   ≈   dV   =   (D_x V) dx   =   4πx² dx.

 

Finalmente, sustituimos los valores específicos de x y dx. Con x = 30 y Δx = dx = ± 0.15 obtenemos

 

dV    =   4π(30²) (±0.15)  =   ±(540)π   ≈   ±1696.

 

Por lo tanto, el error máximo posible en le volumen calculado debido al error de medición del radio es aproximadamente, ±1696 cm³.

 

En el ejemplo 2 el radio medido del globo fue de 30 cm con error máximo de 0.15 cm. La razón de 0.15 a 30 se llama error medio en la medición del radio. Por tanto

 

Error medio = 0.15/ 30 = 0.005.

 

Este número significa que el error en la medición de radio es, en promedio, 0.005 cm por cm. El error porcentual se define como el error medio multiplicado por 100%. En este ejemplo,

 

Error porcentual = (0.005) (100%) = 0.5 %.

 

Ejemplo 3: se mide el radio de una esfera y se encontró que es 21 cm con un posible error en medición de cuando mucho 0.05 cm. ¿Cuál es error máximo al usar este valor del radio para calcular el volumen de la esfera?

 

 

Si el radio de la esfera es r, entonces el volumen es V = 4/3πr³. si el error en el valor medido de r se denota por medio de dr = Δr, luego el error correspondiente en el valor calculado de V es ΔV, el cual puede aproximarse mediante el diferencial

 

dV = 4πr²dr.

 

Cuando r = 21 y dr = 0.05, esto se convierte en

 

dV = 4π(21)²0.05 ≈ 277

 

El error máximo en el volumen calculado es de alrededor de 277 cm³

 

 

 

NOTA: si bien el posible error en el ejemplo 3 puede parecer bastante grande, el error relativo ofrece un mejor panorama del error; se calcula dividiendo el error el volumen total:

 

 V   =    V   =     4/3πr³    = 3. r

 

 

De modo que el error relativo en el volumen es aproximadamente tres veces el error relativo en el radio. En el ejemplo 3, el error relativo en el radio es dr / r = 0.05/ 21 ≈ 0.0024 y produce un error relativo de alrededor de 0.007 en el volumen. Los errores pueden expresarse asimismo como errores de porcentaje de 0.24 % en el radio y 0.7 % en el volumen.

 

 

Ejemplo 4: hallar una formula aproximada para el volumen de una cáscara cilíndrica delgada de extremidades abiertas, donde el radio se representa por (r), la altura por (h) y el espesor por (e).

 

Solución:

 

Sean: v  =  πr²h elvolumen del cilindro

 

         e = dr      el espesor de la cáscara

 

 

 v = π r² h

 

dv = 2πr h dr }formula aproximada

 

dv = 2πr h e

 

Ejemplo 5: calcular un valor aproximado de Sen 32º, empleando diferenciales:

 

Solución:

 

Sean:    y = Sen x    la función representativa de sen 32º

            

             x = 30º        por ser un valor próximo al dado ya que Sen 30º = 0.5

 

           dx = 2º          incremento de “x” para tener 32º

 

            2º = 0.034906 radianes

 

 y = Sen x

 

dy = Cos x dx

 

dy = Cos 30º (0.034906)

 

dy = (0.8660) (0.034906) = 0.030228

 

Si y = Sen 30º = 0.5, tenemos:

 

Sen 32º = y + dy

Sen  32º = 0.5 + 0.030228 = 0.530228 radianes